makalah induksi matematika

KATA PENGANTAR

Puji syukur kita panjatkan kepada hadirat Allah SWT yang telah memberikan kita rahmat kesehatan dan kesempatan, sehingga bisa menyusun atau menyelesaikan penyusunan makalah Teori Bilangan ini yang berjudul INDUKSI MATEMATIK.

            Shalawat dan rangkaian salam kehadirat nabi Muhammad SAW yang kita dari alam kegelapan menuju terang benderang.

Pembuatan makalah ini bertujuan sebagai tugas kelompok Teori Bilangan dan sebagai bahan perkuliahan.

Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Sahat Saragih, M. Pd yang telah membimbing penulis dan pihak-pihak yang telah membantu dalam pembuatan makalah ini.

Makalah ini penulis yakini jauh dari kesempurnaan dan masih banyak kekurangannya seperti pepatah yang mengatakan “tak ada gading yang tak retak“, baik isi maupun penyusunnya. Atas semua itu dengan rendah hati penulis harapkan kritik dan saran yang membangun guna menyempurnakan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat.

           

Medan,   Agustus 2015

  

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .......................................................................................... i

DAFTAR ISI.......................................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1

1. Latar belakang ............................................................................................. 1
2. Identifikasi Masalah .................................................................................... 2
3. Pembatasan Masalah ................................................................................... 2
4. Rumusan Masalah ....................................................................................... 3
5. Tujuan Pembahasan  .................................................................................... 3
6. Manfaat Pembahasan .................................................................................. 4

BAB II PEMBAHASAN  ..................................................................................... 5

A.    Sejarah Induksi Matematik ......................................................................... 5

2. Pengertian Induksi Matematik .................................................................... 6
3. Tahapan Induksi Matematik ....................................................................... 6
4. Prinsip Induksi Matematik .......................................................................... 8
5. Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematik .......................................... 12
6. Konsep, Prinsip dan Contoh Penggunaan Notasi ………….. 17

BAB III PENUTUP............................................................................................. 23

1. Kesimpulam............................................................................................... 23
2. Saran ......................................................................................................... 23

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

                                                   

A.    Latar Belakang        

            Banyak orang yang masih menganggap bahwa matematika itu kurang menyenangkan dan susah untuk di pelajari, namun jika kita berusaha dan memikirkan bahwa matematika itu menyenangkan, pasti kita bisa mempelajari matematika itu. Bukankah di dunia ini atau persisnya di dalam kehidupan kita ini semuanya menggunakan matematika?

Untuk menumbuhkan rasa menyenangkan ketika kita belajar matematika, yaitu  gunakan imajinasimu bahwa matematika itu menyenangkan, berikan rasa percaya diri di dalam kepalamu bahwa matematika itu gampang, dan kalau perlu ketika kita mengerjakan soal matematika kita harus berimajinasi seperti pemandu sorak yang tidak sabar menunggu hasil pertandingan yang berakhir dengan kemenangan.

Didalam matematika terdapat sebuah metode pembuktian yang disebut induksi matematik yang jika dipelajari terlihat sulit namun akan semakin menarik. Induksi matematika sendiri merupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli. Meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Bukan hanya itu induksi matematika pun mempunyai prinsip tersendiri untuk memecahkan suatu permasalahan dan menyelesaikannya yaitu prinsip terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, 4, … yang dapat dituliskan sebagai berikut: N = .

Induksi matematik adalah suatu teknik pembuktian penting dan dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan benar. Dalam bagian ini kita akan menggambarkan bagaimana induksi matematik dapat digunakan dan mengapa induksi matematik merupakan suatu teknik pembuktian valid. Dengan mencatat bahwa induksi matematik hanya dapat digunakan untuk membuktikan hasil yang diperoleh. Ini bukan merupakan alat untuk menemukan formula atau teorema. Selanjutnya, tentang induksi matematik akan dibahas lebih dalam pada makalah ini.

B. Identifikasi Masalah

            Dari latar belakang di atas penulis melakukan pengidentifikasian masalah sebagai berikut:

1.       Banyak orang yang masih menganggap bahwa matematika itu kurang menyenangkan dan susah untuk di pelajari.

2.       Didalam matematika terdapat sebuah metode pembuktian yang disebut induksi matematik yang jika dipelajari terlihat sulit namun akan semakin menarik.

3.       Induksi matematik bukan merupakan alat untuk menemukan formula atau teorema.

C. Pembatasan Masalah

Untuk mempermudah arah pembahasan masalah ini penulis membuat batasan masalah sebagai berikut:

1.       Sejarah dari Induksi Matematik.

2.       Pengertian dari Induksi Matematik.

3.       Tahapan Induksi Matematik.

4.       Prinsip Induksi Matematik.

5.       Contoh soal penggunaan Induksi Matematik.

6.       Konsep, prinsip dan contoh-contoh penggunaan notasi (sigma).

D. Rumusan Masalah               

Dari latar belakang dan identifikasi masalah yang ada maka rumusan masalah yang digunakan adalah:

1.       Bagaimana sejarah adanya Induksi Matematik?

2.       Apa yang dimaksud dengan Induksi Matematik?

3.       Bagaimana tahapan Induksi Matematik?

4.       Bagaimana prinsip Induksi Matematik?

5.       Bagaimana contoh soal penggunaan Induksi Matematik?

6.       Bagaimana konsep, prinsip dan contoh-contoh penggunaan notasi (sigma)?

E. Tujuan Pembahasan

Tujuan dari makalah ini, antara lain:

1.       Mengetahui sejarah dari Induksi Matematik.

2.       Memahami konsep Induksi Matematik.

3.       Mengetahui tahapan Induksi Matematik.

4.       Mengetahui prinsip Induksi Matematik.

5.       Mengetahui contoh soal penggunaan Induksi Matematik.

6.       Mengetahui konsep, prinsip dan contoh-contoh penggunaan notasi (sigma).

F. Manfaat Pembahasan

Penulis berharap makalah ini memiliki manfaat bagi kita semua. Dimana dengan adanya makalah ini dapat membantu semua kalangan baik itu mahasiswa, pelajar dan masyarakat umum dalam mendalami Induksi Matematik dengan sejarah, konsep, prinsip, dan hubungan prinsip. Selain itu dapat menambah wawasan mengenai contoh soal penggunaanya.

BAB II

PEMBAHASAN

A.      Sejarah Induksi Matematik

Sebuah bukti implisit dengan induksi matematika untuk urutan aritmatika diperkenalkan dalam al-Fakhri yang ditulis oleh al-Karaji sekitar 1000 Masehi, yang menggunakannya untuk membuktikan teorema binomial dan sifat segitiga Pascal. Selain al-Fakhri terdapat juga ilmuwan Yunani kuno yang membuktikan induksi matematika untuk menyatakan bahwa sifat bilangan prima yang tidak terbatas. Tidak satupun ahli matematika kuno yang dapat membuktikan induksi matematika secara eksplisit.

Barulah pada tahun 1665 ilmuwan Prancis yang bernama Blaise Pascal dapat membuktikannya secara eksplisit. Bukti induksi secara eksplisit dia tuliskan dalam bukunya yang berjudul arithmétique segitiga du Traité. Pada akhir abad ke-19 ilmu induksi matematika diperbarui kembali oleh dua orang matematikawan yang bernama Richard Dedekind dan Guiseppe Peano. Dedekind mengembangkan sekumpulan aksioma yang menggambarkan bilangan bulat positif. Peano memperbaiki aksioma tersebut dan memberikan interpretasi logis. Keseluruhan aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano.

Gambar 3. Richard Dedekind dan Guiseppe Peano

B.       Pengertian Induksi Matematik

Induksi matematika merupakan salah satu metode/cara pembuktian yang absah dalam  matematik untuk membuktikan suatu  pernyataan matematika apakah benar atau  salah. Seringkali kita hanya menerima saja pernyataan atau argumen matematika, tanpa mengetahui kebenaran pernyataan tersebut. Oleh karena itu kita membutuhkan suatu metode untuk membuktikan kebenaran pernyataan matematika yang disebut induksi matematika.

Meskipun namanya induksi matematik, namun metode ini merupakan penalaran deduktif. Induksi matematik merupakan salah satu argumentasi pembuktian suatu teorema atau pernyataan matematika yang semesta pembicaranya kumpulan bilangan bulat atau lebih khusus himpunan bilangan asli. Melalui induksi matematik ini kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

Induksi matematik yang sesungguhnya merupakan salah satu aksioma yang dipenuhi oleh sistem bilangan asli. Bentuk umum induksi matematik sebagai berikut: Misalkan N adalah himpunan semua bilangan asli. Dapat dituliskan sebagai berikut: N = .

C.    Tahapan Induksi Matematika

Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli. Pembuktian dengan cara ini terdiri dari tiga langkah, yaitu:

a.       Langkah Basis

Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1

b.      Langkah Induksi

Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n = k, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n = k + 1

c.       Kesimpulan

Definisi :

Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang bisa benar atau salah. Misalkan,

1.      P(1), benar

2.      Jika untuk n = k  yaitu P(k) benar, maka untuk n = k + 1 harus kita buktikan P(k+1) benar

Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n

Contoh Soal

Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n².

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n^2\

Penyelesaian:

(i)           Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²

p (1) (2n – 1) = n²

(2.1 – 1) = 1²

1 = 1    (benar)            

            Jadi, p (1) benar.        

(ii)         Langkah induksi: mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu:

                   n = k        1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k²

Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1

n = k +11 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2n-1) = n²

          1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)²

          1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 2-1)  = (k + 1)²

        k²             +    (2k + 1)   = (k + 1)²

                        (k + 1)²      =   (k + 1)²        (Terbukti)

Jadi, p (k+1) benar.

(iii)       Kesimpulan: Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n².

D.    Prinsip Induksi Matematika

1.  Prinsip Induksi Sederhana

Misal p (n) adalah pernyataan yang bergantung pada n bilangan bulat positif. Kita ingin membuktikan bahwa  p(n) benar utnuk semua bilangan bulat positif.   Langkah induksi:

1.  Basis: tunjukan p (1) benar.

2.  Induksi: Misal p (n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1.

3. Kesimpulan: Buktikan bahwa p (n+1) benar.

 Contoh Soal:

1. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =  untuk setiap bilangan asli n.

Penyelesaian:

(i)                 Langkah Basis:

Misalkan, p (n) adalah 1 + 2 + 3 + … + n =

p = 1

 1 = 

1 =

 1 = 1 (benar)

Jadi, p (1) benar

(ii)               Langkah Induksi: Diasumsikan bahwa p (k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu:

n = k      1 + 2 + 3 + … + n =

1 + 2 + 3 + … + k =

Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p (k+1) benar, yaitu:

n = (k+1) 1 + 2 + 3 + … + k + n =

    1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) =((k+1)+1)

                + (k + 1) =(k+2)

                 +   =(k+2)

               +   =(k+2)

               +   =(k+2)

                =(k+2)

                        =(k+2)

              =(k+2)

             =(k+2)     (Terbukti)

Jadi, p (k+1) benar.

(iii)             Kesimpulan: Jadi, 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)= (k+2), berarti p (k+1) benar. Sehingga p (n) benar untuk setiap bilangan asli n.

2.  Prinsip Induksi yang Dirapatkan (Generalized)

Prinsip induksi sederhana digunakan untuk membuktikkan pernyataan p (n) dimana n dimulai dari 1. Prinsip induksi yang dirapatkan digunakan untuk membuktikkan pernyataan p (n) dimana n tidak harus dimulai dari 1, tetapi berlaku untuk untuk semua bilangan bulat positif (non negatif).

Misal p (n) adalah pernyataan. Kita akan buktikan p (n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n₀. Langkah induksi:

1. Basis : p (n₀) benar.

2. Induksi : Andaikan p(n) benar untuk n ≥ n_0.

3. Kesimpulan : Buktikan bahwa p(n+1) benar.

Contoh Soal:

Tunjukkan bahwa untuk semua bilangan bulat non negatif.

 

Penyelesaian:

(i)                 Langkah Basis:

Misalkan, p (n) adalah  

Untuk p (0)    

                   1 = 2 – 1

       1 = 1 (benar)

Jadi, p (0) benar.

(ii)               Langkah Induksi: andaikan n = 0,

 adalah benar.

Akan dibuktikan untuk p (n+1) :

n = (n+1)

          

 

 

 (Terbukti) 

(iii)             Kesimpulan:, untuk semua bilangan bulat positif.

3. Prinsip Induksi Kuat

Misal p(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Kita akan buktikan bahwa p(n) adalah benar untuk semua bilanagn n. Langkah induksi:

1. Basis : p(n₀) benar.

2. Induksi : Andaikan untuk semua bilanagn bulat n, p (n₀), p (n₀+1), … p(n) benar.

3. Kesimpulan : Buktikan bahwa p (n+1) benar.

Contoh Soal:

Tunjukkan bahwa bilangan bulat positif adalah bilangan prima jika dan hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.

Penyelesaian:

Kita akan buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n , dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima.

(i)                 Langkah Basis:

Misalnya, untuk n = 2 (dapat dinyatakan sebagai perkalian satu bilangan prima) benar.

(ii)               Langkah Induksi: Misalkan 2, 3. 4. …..n dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima.

Buktikan bahwa (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima.

Jika (n+1) adalah bilangan prima, maka (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu bilangan prima yaitu (n+1) = 1.(n+1)

Jika (n+1) bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan positif a sedemikian sehingga 2 < a < (n+1) yang membagi habis (n+1). Dengan kata lain:         

(n+1) = ab (Terbukti)

(iii)              Kesimpulan: Karena 2 < a , b < n maka a dan b dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima jadi, ab juga dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima, sehingga (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima.

E.   Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematik

Pembuktian dengan Induksi matematik dapat diilustrasikan dengan fenomena yang terkenal dengan Efek Domino. Sejumlah batu domino diletakan berdiri dengan jarak ruang yang sama satu dengan yang lain. Untuk merebahkan domino kita hanya cukup mendorong domino 1 ke kanan. Jika Domino 1 didorong kekanan, ia akan memdorong domino ke 2, domino 2 mendorong domino 3, dst sampai semua domino rebah ke kanan.

 

Adapun beberapa contoh soal penggunaan induksi matematika sebagai berikut ini:

1. Buktikanlah bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:

 

Penyelesaian:

(i)       Langkah Basis:

Misalkan p (n) adalah

p(1)

                        1 =

                        1 = 1 (benar)

Jadi p (1) benar.

(ii)     Langkah Induksi:

Diasumsikan bahwa p (k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu:

n = k  

  

Dan harus ditunjukkan bahwa p (k+1) benar, yaitu ditunjukkan bahwa

n = (k+1)  

              

 

 

    (Terbukti)

Jadi, p (k+1) benar.

(iii)       Kesimpulan: Dari langkah-langkah (i) dan (ii) disimpulkan bahwa p (n) benar untuk setiap bilangan asli n.

2. Untuk semua , buktikan dengan induksi matematika bahwa  habis dibagi 3.

Penyelesaian:

(i)                                    Langkah Basis:

Misalkan p (n) adalah  

P (1) 1³ + 2(1) habis dibagi 3

= 3 habis dibagi 3 (benar)

Jadi p (1) benar.

(ii)     Langkah Induksi:

Diasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k yaitu:untuk n = k benar, yaitu:

n = k   habis dibagi 3

= k    habis dibagi 3

Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1 juga benar, yaitu :

n = (k+1)            habis dibagi 3

=  habis dibagi 3

                                   =habis dibagi 3

=  habis dibagi 3

= habis dibagi 3

Karena  adalah habis dibagi 3 (dari hipotesis induksi di atas).

= habis dibagi 3

maka  juga habis dibagi 3. (Terbukti)

Jadi  adalah jumlah dua buah bilangan yang habis dibagi 3, karena itu  juga habis dibagi 3. Jadi, p (k+1) benar.

(iii)   Kesimpulan: Karena langkah (i) dan (ii) sudah diperlihatkan benar, maka terbukti bahwa untuk semua ,  habis dibagi 3.

                 

3. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 3ⁿ < n! untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 7.

Penyelesaian:

(i)       Langkah Basis: Misalkan p (n) adalah 3ⁿ < n!

Misalnya n = 7

n = 7  3⁷    <    7!

= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 < 7 x 6 x 5 x4 x 3 x2 x1

=      2187   <   5040    (benar)

Jadi p (7) benar.

(ii)     Langkah Induksi:   

Diasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu:

n = k 3ⁿ < n!

                        = kⁿ < k!

Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1 juga benar, yaitu :

n = (k+1) 3ⁿ < n !

       = 3^k+1 < (k+1) !

= 3^k.3¹ < (k+1) k!

= 3^k  < k!

Menurut hipotesis induksi, , sedangkan untuk n ≥ 7, nilai , sehingga  akan memperkecil nilai di ruas kiri pertidaksamaan. Efek nettonya,  jelas benar.

(iii)   Kesimpulan: Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa 3ⁿ < n! untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 7.

4. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 5ⁿ − 1 dapat dibagi 4 untuk setiap   n = 1, 2, ...

Penyelesaian:

Adapun langkah-langkahnya yaitu:

(i)                 Langkah Basis: Misalkan p (n) adalah  5ⁿ − 1 habis dibagi 4 untuk untuk setiap   n = 1, 2, ...

n = 1 5ⁿ − 1 habis dibagi 4

= 5¹− 1  habis dibagi 4

= 5 − 1  habis dibagi 4

= 4  habis dibagi 4 (benar)

Jadi, p (1) benar.

(ii)               Langkah Induksi: Asumsikan bahwa 5ⁿ − 1 habis dibagi 4 untuk n = k, yaitu:

n = k 5ⁿ − 1 habis dibagi 4

             = 5^k − 1 habis dibagi 4

 Pembuktian untuk n = k + 1,

n = (k+1) 5ⁿ − 1             habis dibagi 4

= (5) ^k+1 − 1     habis dibagi 4

= [5^k.5] – 1      habis dibagi 4

= 5^k (1 + 4) – 1    habis dibagi 4

= 5^k +4. 5^k − 1 habis dibagi 4

= (5^k – 1) + 4. 5^k  habis dibagi 4          (Terbukti)

                        Jadi, p (k+1) benar.

                        Karena n = k = 1, 2, …

                        Maka jika n = k =1 (5^k – 1) + 4. 5^k  habis dibagi 4

                                                            = (5²-1) + 4.5²    habis dibagi 4

 = (25-1) + 4.25    habis dibagi 4

                                                            = 24 + 100 =124    habis dibagi 4

                        Jadi, 124 dibagi 4 akan bernilai 31

(iii)             Kesimpulan: Dari langkah basis dan induksi dapat disimpulkan bahwa 5ⁿ − 1 dapat dibagi 4 untuk setiap   n = 1, 2, ...

F.   Konsep, Prinsip dan Contoh Penggunaan Notasi (Sigma)

Jumlahan untuk bilangan-bilangan yang teratur dapat ditulis lebih singkat dengan mengguankan notasi (sigma). Berikut ini konsep, prinsip, dan contoh-contoh penggunaan notasi-notasi

1)     

2)     

3)       , dengan c = konstanta

4)     

5)     

Keterangan: dengan n = suku ke-.

Contoh Soal:

1.

2.

3.

4.

5. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n.

Penyelesaian:

(i)                 Langkah Basis:

Misalkan p (n) menyatakan

P (1)

           

 3 - 2 =

      1 = 1 (benar)

Jadi, p (1) benar.

(ii)               Langkah Induksi: Diasumsikan p (t) benar untuk suatu bilangan asli t, yaitu:

n = t

      

Tunjukkan bahwa p (t+1) benar, yaitu:

n = (t+1)

 

   

  

 

 

 

 

 

   (Terbukti)

Jadi p (t+1) benar.

(iii)             Kesimpulan: Jadi p (t+1) benar sehingga p (n) benar untuk setiap bilangan.

Contoh di atas dapat dibuktikan meggunakan sifat-sifat notasi sebagai berikut:

      =

      menggunakan contoh sebelumnya, maka ingat bahwa

      =

      =

      =

6. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, 7ⁿ – 2ⁿ selalu terbagi habis oleh 5.

Penyelesaian:                                                                                                              

(i)                 Langkah Basis:

Misalkan p (n) menyatakan 7ⁿ – 2ⁿ selalu terbagi habis oleh 5.

p (1) 7¹- 2 1  terbagi habis oleh 5

= 7 – 2   terbagi habis oleh 5

= 5         terbagi habis oleh 5

Jadi, p (1) benar.

(ii)               Langkah Induksi: Diasumsikan p (k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu :

n = k  7ⁿ – 2ⁿ  terbagi habis oleh 5

 =  7^k – 2^k   terbagi habis oleh 5

Tunjukkan bahwa p (k+1) benar, yaitu :

n = (k+1)7ⁿ – 2ⁿ        terbagi habis oleh 5

    = 7^k+1 – 2^k+1   terbagi habis oleh 5

    =   terbagi habis oleh 5

    =  terbagi habis oleh 5

    =  terbagi habis oleh 5   

    =  terbagi habis oleh 5

    =    terbagi habis oleh 5

    = 7 terbagi habis oleh 5      (Terbukti)

Telah diasumsikan bahwa (7^k - 2^k) terbagi habis oleh 5. Maka 7 (7^k - 2^k) terbagi habis oleh 5 pula.

(2^k.5) jelas terbagi habis oleh 5, sebab mempunyai faktor 5. Sehingga 7terbagi habis oleh 5. Jadi 7^k+1 – 2^k+1   terbagi habis oleh 5.

Maka p (k+1) benar.

(iii)             Kesimpulan: dari langkah (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa 7ⁿ – 2ⁿ terbagi habis oleh 5 untuk setiap bilangan asli n.

7. Misalkan, banyaknya elemen himpunan S_n adalah n (suatu bilangan asli). Berapakah banyaknya semua himpunan bagian dari S_n.

Penyelesaian:

Misalkan S_n =

Jika S₁ =  maka himpunan bagian dari S₁ adalah dan . Sehingga banyaknya himpunan bagian dari S₁ adalah 2.

Coba periksalah banyaknya himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut ini!

Banyaknya himpunan bagian dari S₂ = adalah 4. Banyaknya himpunan bagian dari S₃ =  adalah 8. Banyaknya himpunan bagian dari S₄ =  adalah 16 dan seterusnya. Untuk melihat hal ini dengan lebih jelas perhatikan Tabel 1.

Tabel 1

Banyaknya elemen Sn	Himpunan Sn	Himpunan bagian dari S	Banyak himpunan bagian dari Sn
0 1 2 3 . . . n		,, ,, ,, ,.	1 = 2 = 4 = 8 =

Tampak dalam kolom terakhir dari Tabel 1 tersebut bahwa banyaknya himpunan bagian tersebut merupakan perpangkatan dari 2. Sehingga kita dapat menduga bahwa banyaknya himpunan bagian dari S_n =  adalah 2ⁿ. akan tetapi dugaan ini harus dibuktikan kebenarannya. Akan kita buktikan dengan induksi matematik.

Misalkan p (n) menyatakan “banyaknya himpunan bagian S_n =  adalah 2ⁿ. untuk setiap bilangan asli n”.

(i)                 Langkah Basis: p (1) banyaknya himpunan bagian dari S₁ = adalah 2¹. Hal ini benar, sebab himpunan bagian dari S₁ adalah dan . Jadi , p(1) benar.

(ii)               Langkah Induksi: Diasumsikan p(k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu banyaknya himpunan bagian dari S_k = adalah 2^k dan harus ditunjukkan p(k+1) benar yaitu, banyaknya himpunan bagian dari S_k+1 = adalah 2^k+1.

Telah diasumsikan bahwa banyaknya himpunan bagian dari S_k adalah 2^k. Maka banyaknya himpunan bagian dari S_k+1 adalah banyaknya himpunan bagian dari S_k ditambah dengan banyaknya himpunan bagian dari S_k+1 yang bukan merupakan himpunan bagian dari S_{k ,} yaitu himpunan bagian dari S_k yang masing-masing dilengkapi dengan elemen  yaitu sebanyak 2^k pula. jadi banyaknya himpunan bagian dari S_k+1 adalah 2^k + 2^k = 2^k+1. Sehingga p (k+1) benar.

(iii)             Kesimpulan: Selanjutnya dapat disimpulkan dari (i) dan (ii) bahwa p (n) benar untuk setiap bilangan asli n.

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli.

Suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip induksi sederhana, induksi yang dirapatkan (Generalized) dan induksi kuat dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut.                         N = .

Induksi matematik digunakan untuk membuktikan hasil tentang kompleksitas algoritma, pembetulan tipe program komputer tertentu, teorema tentang graf dan pohon, dan juga suatu range luas dari identitas dan pertidaksamaan.

Induksi Matematika juga merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Selain itu Induksi Matematika juga digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu.

B. Saran

       Dalam makalah ini penulis memiliki harapan agar pembaca memberikan kritik dan saran yang membangun. Karena penulis sadar dalam penulisan makalah ini terdapat begitu banyak kekurangan.

Selain itu, penulis juga menyarankan setelah membaca makalah ini  kita semua dapat mengatakan bahwa matematika itu asyik. Setelah kita belajar tentang induksi Matematika kita akan lebih tertantang lagi dan lebih bersemangat dalam belajar khususnya matematika.

DAFTAR PUSTAKA

Daddy. “Contoh Pembuktian Dengan Induksi Matematika”. 19 Agustus 2015. http://askyourdaddy.blog.uns.ac.id/2014/09/12/contoh-pembuktian-dengan-induksi-matematika/

Ningsih, Novia. “Induksi Matematika”. 19 Agustus 2015. .http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/KHUSNUL_NOVIANIGSIH/INDUKSI_MATEMATIK.pdf

Salim, Asbar. “Induksi Matematika”. 19 Agustus 2015. http://asbarsalim009.blogspot.com/2015/02/induksi-matematika.html

Sukirman. 2008. Teori Bilangan. Jakarta: Universitas Terbuka.

Yosi. “Induksi Matematika”. 19 Agustus 2015. https://yos3prens.wordpress.com/2013/10/06/induksi-matematika/